流れ 2002年9月号 目次
― 特集 渦法 ―
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渦法からDESへ：次世代のCFDを担って
横浜国立大学工学研究院 亀本喬司
１．はじめに
渦法 (Vortex Method)は,(a) 流れ場の連続的な渦度の分布を多数の微小渦要素によって離散的に表し,(b) 渦度輸送方程式を数値的に解いて各渦要素の渦度変化を時々刻々捉えながら,(c) 流れに乗った渦要素の移動と拡散を追跡することにより,流れをタイムスプリット的に非定常解析するものである.その特徴は,(1) 流れ場の格子形成が不要である,(2) RANS型乱流モデルが不要である, (3) 移動・変形境界が自在に取り入れられる,など画期的であり,次世代のCFDを担う有力な解析法として注目され始めている.
２．渦法からDES(Discrete Eddy Simulation)へ
渦法の起源は,電子計算機の存在しなかった20世紀初頭にさかのぼり,Von Karman (1911)による渦列の安定性解析,Rosenhead (1931)による自由せん断流の不安定性解析などがそれである.後に彼等のアイディアは,はく離流れ解析に有力な離散渦法 (Discrete Vortex Method)に拡張され,また一方では,特異点解法 (Singularity Method),揚力線/揚力面理論 (Lifting Line / Lifting Surface Theory) ,渦格子法 (Vortex Lattice Method),パネル法 (Panel Method)などの発達に影響を与え,電子計算機の発達と共に機械,航空,船舶ほか幅広い分野の流体工学の進歩に貢献した.これらの解析法は非粘性流れを対象としておりCFDという観点からは適用が限られていたのに対し,離散渦法は1980年代に入って粘性流体への適用も可能となり渦法 (Vortex Method)と呼ばれるようになってきた.1990年代に入るとLESモデルの導入を始め数学・物理学の面から渦法の拡張に関する研究が一層活発に進み,国際会議の開催[1,2]と共に,噴流やはく離非定常流れを中心として工学上の諸問題への応用も数多く試みられるようになってきた.最近では,格子生成や乱流モデルが不要という渦法の特徴が注目され,おもに工学の分野で渦法による解析はDES (Discrete Eddy Simulation)と呼ばれることもあり,広く応用が期待されている.
３．次世代のCFDを担う渦法の新展開
格子形成が不要,乱流モデルが不要,移動・変形境界が自在という渦法が持つ三つの特徴は,現在のCFDにとってきわめて魅力的であり, まさに夢の数値風洞に限りなく近づいたといっても過言ではあるまい.近年は,乱流はく離流れ[3],はく離を伴う非定常強制熱伝達流れ[4]や渦流れによる振動・騒音[5]の解析にまで応用が進んできた.また最近では,圧縮性流れへの適用に関する研究も始まっている.[6]
渦法では導入渦の挙動を時間的に追跡するので,渦度の離散化スケールとしていわゆる乱流のコルモゴロフスケールに相当する渦コアスケールの微細渦要素(eddy)を大量に流れ場に導入すれば乱流を直接解析できる.しかし,高レイノルズ数流れにおいては,乱れのエネルギー散逸まで解像度を維持できるほどの微細な渦要素を多数導入することは容易ではなく,導入渦要素の最小渦コアスケールを少なくとも大規模渦構造に対する解像度を確保できる範囲内で大きめにとる.このような場合,渦コアスケールより小さい乱れスケールの影響を考慮するために渦法のLESモデルとしてサブコアスケールモデルの導入が考えられてきた.Leonard & Chua[7]は,Smagorinskyの渦粘性係数の概念に基づく渦核成長モデルを提案した.井澤・木谷[8]は,Leonard & Chuaの渦核成長モデルをやや変形した簡便な乱流モデルを提案し円形ノズルからの非定常噴流解析に適用した.また,Mansfieldら[9,10]は,ダイナミックモデルを提案し単一渦輪の挙動および2つの渦輪の衝突に対して適用した.しかし,これまでのところ渦法のLESモデル導入の研究は始まったばかりであり,モデルの導入によって乱流解析がとくに向上したという報告はみあたらない.そもそも乱れのエネルギースペクトルそのものが乱れの統計的時間平均特性であり,このエネルギーカスケードを大小の渦要素間での非定常なエネルギー授受のモデルとして使うことは適切でないようにも思える.もともと渦法では微小な渦要素相互の非定常で非線形な相互作用が考慮されているので,すでにLESモデルとしての基本アルゴリズムは考慮されており,さらに微小なスケールを持つ渦要素の非定常なエネルギー散逸を如何にモデル化するかが今後の課題である.Chorin[11,12]は,三次元非粘性流れにおいて渦管の長さが際限なく伸びることを防ぐために,ある範囲まで近接した渦要素を除去する手法 ( hairpin removal ) を提案しており,これは,小スケールの渦度が粘性によって散逸されることに対応していることから一種の乱流モデルであると解釈できる.Bernard[13]は,この手法を境界層の乱流解析に適用して良い結果を得た.渦法のLESモデルとしては,このような渦要素の分離合体モデルや再配列モデルが合理的で有望であり,最近Cottet[14]らは,再配列を用いた渦法による等方性乱流ほかの解析結果をDNS差分スペクトル法による乱流解析結果と比較することにより,乱流特性はもとより計算時間を含めて渦法はスペクトル法に勝るとも劣らない解析法であることを明らかにしている.このことからも,次世代のCFDを担う渦法の新展開が大いに期待される.
文献
[1] Proceedings of the 1st International Conference
on Vortex Methods, Kobe, Nov. 4-5, 1999.
[2] Proceedings of the 2nd International Conference on Vortex
Methods, Istanbul, Sep. 26-28, 2001.
[3] Kamemoto, K., Engineering application of the vortex methods
developed in Yokohama National University, Proceedings of the
2nd International Conference on Vortex Methods, Istanbul, Sep.
26-28, (2001), 197-209.
[4] 中村 元, 亀本 喬司, 渦および熱要素法による円柱まわりの非定常熱伝達解析, 機論(B) 67-662, (2001-10),
2525-2532.
[5] Iida, A., Kamemoto, K. and Ojima, A., Prediction of aerodynamics
sound spectra by using an advanced vortex method, Proceedings
of the 2nd International Conference on Vortex Methods, Istanbul,
Sep. 26-28, (2001), 211-217.
[6] Eldredge, J.D., Colonius, T. and Leonard, A., A vortex particle
method for two-dimensional compressible flow, J. Comp. Phys. 179,
(2002), 371-399.
[7] Leonard, A., Chua, K., Three-Dimensional Interactions of Vortex
Tubes. Physica. D, Vol.37, (1989), 490- 496.
[8] 井沢 精一郎, 木谷 勝, 渦法における乱流モデル, 日本機械学会論文集, 65-630, B(1999), 581-589.
[9] Mansfield, J.R., Knio, O.M. and. Meneveau, C., A Dynamic LES
Scheme for the Vorticity Transport Equation: Formulation and a
priori test, J. Comp. Phys., 145, (1998), 693-730.
[10]Mansfield, J.R., Knio, O.M. and. Meneveau, C., A Dynamic LES
of Colliding Vortex Ring using a 3D Vortex
Method, J. Comp. Phys., 152, (1999), 305-345.
[11] Chorin, A.J., Hairpin Removal in Vortex Interactions, J.
Comp. Phys., 91, (1990), 1-21.
[12] Chorin, A.J., Hairpin Removal in Vortex Interactions, J.
Comp. Phys., 107, (1993), 1-9.
[13] Bernard, P., A vortex Method for Wall
Bounded Turbulent Flows. ESAIM Proceeding, 1, (1996), 15-31.
[14] Cottet, G.H.,
Michaux, B., Ossia, S. and VanderLinden, G., A comparison of spectral
and vortex methods in three-dimensional incompressible flows,
J. Comp. Phys. 175, (2002), 702-712.